El infinito, Aquiles y la tortuga.

El infinito es un concepto abstracto y siempre ha creado problemas y dificultades en su comprensión. Diciendo infinito, insinuamos algo que se contradice con el finito y el limitado. El infinito no podía extenderse más y fuera de ello. No habría nada en absoluto... aparte de conflictos y controversias entre aquellos matemáticos y filósofos que trataron de estudiarlo. Fue introducido por primera vez en la historia de matemáticas, por la escuela jónica y los filósofos prosocráticos. (mira este enlace si te interesan sus ideas: Los filósofos prosocráticos )

En esta entrada presentaré dos de las más famosas paradojas (o aporias) ideadas por Zenón que torturaron la antigüedad muchísimos años. Hoy ya, estas paradojas tienen sólo un valor histórico.

Comenzamos primero desde Italia del sur, que en ese entonces fue colonia griega. Zenón de Elea (496-429 a.C), matemático, filósofo y célebre por su cuatro paradojas que confundía mucho las escuelas filosóficas y se competían con la suya. Compañero de Parmenides, fundadores del pensamiento Prosocratico. Argumentaba con paradojas y razonamientos falsos para derrumbar la lógica de su hablante y se considera el creador de la dialéctica junto a Tales. Famoso por formular la paradoja que el movimiento no es posible y negando la divisibilidad del espacio y tiempo. Has escuchado alguna vez la paradoja de Aquiles y la tortuga en la cual Aquiles, nunca alcanza la tortuga? Pues no te vayas, quédate porque, para mi tiene mucho interés...

Busto de Zenón de Elea.

1) La paradoja de Aquiles y la tortuga:

Se trata de una de las paradojas más conocida en la que protagoniza Aquiles el famoso guerrero (el que mató a Ector en la guerra de Troya) que se considera un semidiós y el mortal más veloz. En esta historia imaginaria, Zenón trata de demostrar que el guerrero veloz nunca alcanzará la tortuga. Suena extraño, ¿no? Aquiles va a participar en una carrera larga contra una tortuga. Pues como la tortuga es la desfavorecida de la carrera, le damos una ventaja de cien metros. Digamos que Aquiles corre a la velocidad de Jusein Bolt (10 metros por segundo) y la tortuga es una super tortuga  que corre a 1 metro por segundo. (Hemos hecho esta suposición para facilitar nuestros cálculos). El árbitro silba y la carrera comienza...

Una vez que Aquiles recorra 100 metros en 10 segundos, la tortuga habrá recorrido 10 metros y estará 10 metros delante de Aquiles. (ya que la dimos una ventaja de 100 metros). Cuando haya recorrido estos 10 metros la tortuga estará delante 1 metro. Para que recorra este 1 metro la tortuga estará adelante por 0.1 metro y etc. Por consiguiente Aquiles cada vez que recorre la distancia que lo separa de la tortuga, en el mismo tiempo la tortuga habrá avanzado un poco más. Teóricamente este procedimiento se repite indefinidamente y que Aquiles nunca adelantará la tortuga y por tanto nunca ganará la carrera.

Evidentemente hay algo erróneo en su razonamiento, pero la pregunta plausible es la siguiente: ¿En que punto se equivocó Zenón?

Bueno, el razonamiento de Zenón es correcto en cierto modo, pero según nuestra experiencia es evidente que las zancadas de Aquiles alcanzarán con creces los pasos lentos de la tortuga.

Pues, hubo que esperar hasta mediados del siglo XVII para que el matemático escocés James Gregory demostrara matemáticamente que una suma de infinitos términos puede tener un resultado de tiempo finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son infinitos, pero cada vez más y más pequeños. La suma de todos estos tiempos, a pesar de su infinito número, da como resultado un lapso de tiempo finito, que es el momento en que Aquiles alcanzará a la tortuga. Se demuestra que la suma de la secuencia:

t=10+1/1+1/10+1/100+1/1000...=11.11111 sec y sustancialmente es el tiempo en el que Aquiles alcanza la tortuga.

Otra manera de afrontar la paradoja es la siguiente:

Podríamos pensar que Aquiles no recorre espacios infinitesimales, sino pasos discretos que los llamamos “zancadas”. A cada zancada le corresponde una distancia concreta, por ejemplo: un metro. En palabras simples, podríamos comparar la distancia que recorre Aquiles con la distancia que recorre la tortuga en el mismo tiempo... no se que le impidió a Zenón pensar así.

2) La paradoja de la flecha y la inmovilidad:

En esta famosa paradoja, Zenón asevera que el movimiento de cualquier objeto es imposible. Que dice este loco.......

Vamos a examinarlo:

Pues, digamos que un arquero lanza una flecha con un arco. Si suponemos que el tiempo que pasa, está compuesto por infinitos instantes infinitesimales y sucesivos entre si y en cada instante la flecha está inmovilizada. Los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo y no podrá ir a donde tenga que ir. De este modo la flecha está siempre en reposo con lo cual el movimiento es imposible.

Evidentemente otra vez el razonamiento es erróneo ya que muchas mujeres se quedaron viudas de sus esposos caídos por las flechas de los enemigos... Es seguro que no se murieron de flechas en reposo.

Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha está moviéndose.

3) Argumento de la dicotomía:

Se trata de una paradoja más, que pone en duda la existencia del movimiento. Es más simple que los de arriba y se relaciona con un objeto que obligamos a que se mueva dentro del espacio. Pues, para recorrer una distancia dada, tiene que recorrer primero la mitad de ella. ¿Correcto? Para recorrer esta primera mitad tiene que recorrer la mitad de la mitad y etc... Si consideramos que cada mitad para ser recorrida por el objeto, exige un tiempo infinito por muy pequeño que sea, prácticamente nunca se arrancará. Zenón supuso que la adición de tiempos infinitos equivale con una suma infinita... pero no es así.

Bueno, puede que os parezca todo eso un poco absurdo, pero así era el pensamiento y el razonamiento de aquel mundo conocido. Creed me, tal tipo de razonamiento torturó y mantuvo ocupados siglos a los filósofos y los matemáticos...

Espero que os haya gustado.

Gracias y hasta la próxima.